C?LCULO DIFERENCIAL EM R

3.6.2 Limites das funções trigonométricas inversas.

Para o cálculo dos limites das funções trigonométricas inversas, é necessário considerar os limites que se mencionam na seguinte propriedade:

Propriedade 3.21

a) arcsen x = 0 b) arccos x = + c) = 1

d) = 1 e) arctan x = - f)} arctan x = +

Demonstração

a) Considere a seguinte mudança de variáveis: t = arcsen x, onde -1  x  1 e -  t  , então x = sen t, se x  0 tem-se que t  0. Logo, arcsen x = t = 0.

c) Fazendo mudança de variáveis como na demonstração da parte a) tem-se = = 1 .

Exemplo 3.43

Calcular .

Solução

Considere a mudança de variáveis 6x = t ; então quando x  0 , teremos que t = 6x  0 assim, = 6 = 6. = 6. = 6(1) = 6 .

Exemplo 3.44

Determine o valor do limite .

Solução

Observe que = . = , quando x  0 tem-se que ax  0 e bx  0 , assim resulta que:

, = . = .

Portanto, = .

Exemplo 3.45

Calcular .

Solução

Quando x  0 tem-se que t = sen 3x  0 e r = sen 4x  0 ; logo fazendo mudança de variável, segue que t  0 e r  0 então:

= = =

= =

= . =

Portanto, = .

Exemplo 3.46

Determine o valor do limite .

Solução

= =

= - = - =

= - = (16) - =

Portanto, = .

Exemplo 3.47

Determine o valor do limite .

Solução

Tem-se aplicando a Propriedade (3.20)-(c) que:

= . = (1) =

Portanto = .

Exemplo 3.48

Calcular .

Solução

Do fato ser a tangente positiva quando x  0+ então existe ; para o caso x < 0 tem-se que tan x < 0 , logo não tem sentido o limite x  0- ; e da Propriedade (3.21)-(c) vem:

= =

= 3(1) = 3. = 3. = 3 .

Portanto, = 3